Méthode de l'arctangente

Une approximation de  `\pi` est donnée par la formule suivante, liée à la trigonométrie :  \(\pi = 4 \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{7} + \dots + \dfrac{(-1)^n}{2n+1}\right) = 4\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\)

Il est aussi possible de définir une suite \((p_n)\) par \(p_0=4\) et, pour tout entier naturel non nul \(n\) , \(p_{n}=p_{n-1} + \dfrac{4\times (-1)^n}{2n+1}\) . On a alors \(\pi = \displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n\) .

Exercice

Compléter la fonction pi_somme1 qui prend en argument un entier \(n\) et qui renvoie la liste des \(n\) premiers termes de la suite \((p_n)\) .

def pi_somme1(n):
    Lp = [0] * n
    Lp[0] = ...
    for i in range(1, n):
        Lp[i] = ...
    return Lp

approx = pi_somme1(5)
print(approx)

Calculer alors \(p_{10000}\) . Le comparer avec la valeur de \(\pi\) . Que peut-on dire de la vitesse de convergence de cette suite ?

Le programme suivant permet de représenter graphiquement les 100 premiers termes de la suite \((p_n)\) .

import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

abscisses = list(range(100))
ordonnees = pi_somme1(100)
plt.plot(abscisses, ordonnees, '.')
plt.plot([0,100],[pi,pi],'--',color='green')
plt.legend(['$p_n$','$\pi$'])
plt.title('100 premiers termes de la suite $(p_n)$')
plt.show()
plt.close()